Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính :

a) \(\int\limits^3_0\dfrac{x^2}{\left(1+x\right)^{\dfrac{3}{2}}}dx\) (đặt \(u=x+1\))

b) \(\int\limits^1_0\sqrt{1-x^2}dx\) (đặt \(x=\sin t\))

c) \(\int\limits^1_0\dfrac{e^x\left(1+x\right)}{1+xe^x}dx\) (đặt \(u=1+xe^x\))

d) \(\int\limits^{\dfrac{a}{2}}_0\dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx\) (\(a>0\)) (đặt \(x=a\sin t\))

Tính các tích phân sau :

a) \(\int\limits^4_{-2}\left(\dfrac{x-2}{x+3}\right)^2dx\) (đặt \(t=x+3\) )

b) \(\int\limits^6_{-4}\left|x+3\right|-\left|x-4\right|dx\)

c) \(\int\limits^2_{-3}\dfrac{dx}{\sqrt{x+7}+3}\) (đặt \(t=\sqrt{x+7}\) hoặc \(t=\sqrt{x+7}+3\) )

d) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\dfrac{\cos x}{1+4\sin x}dx\)

e) \(\int\limits^2_1\dfrac{x^9}{x^{10}+4x^5+4}dx\) (đặt \(t=x^5\) )

g) \(\int\limits^3_0\left(x+2\right)e^{2x}dx\) 

h) \(\int\limits^5_2\dfrac{\sqrt{4+x}}{x}dx\) (đặt \(t=\sqrt{4+x}\) )

Tính các tích phân sau :

a) \(\int\limits^1_0\left(y^3+3y^2-2\right)dy\)

b) \(\int\limits^4_1\left(t+\dfrac{1}{\sqrt{t}}-\dfrac{1}{t^2}\right)dt\)

c) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\left(2\cos x-\sin2x\right)dx\)

d) \(\int\limits^1_0\left(3^s-2^s\right)^2ds\)

e) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{3}}_0\cos3xdx+\int\limits^{\dfrac{3\pi}{2}}_0\cos3xdx+\int\limits^{\dfrac{5\pi}{2}}_{\dfrac{3\pi}{2}}\cos3xdx\)

g) \(\int\limits^3_0\left|x^2-x-2\right|dx\)

h) \(\int\limits^{\dfrac{5\pi}{4}}_{\pi}\dfrac{\sin x-\cos x}{\sqrt{1+\sin2x}}dx\)

i) \(\int\limits^4_0\dfrac{4x-1}{\sqrt{2x+1}+2}dx\)

Tính các tích phân sau :

a) \(\int\limits^1_0\left(y-1\right)^2\sqrt{y}dy\), đặt \(t=\sqrt{y}\)

b) \(\int\limits^2_1\left(x^2+1\right)\sqrt[3]{\left(z-1\right)^2}dz\), đặt \(u=\sqrt[3]{z-1}\)

c) \(\int\limits^e_1\dfrac{\sqrt{4+5\ln x}}{x}dx\)

d) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\left(\cos^5\varphi-\sin^5\varphi\right)d\varphi\)

e) \(\int\limits^{\pi}_0\cos^3\alpha\cos3\alpha d\alpha\)

Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số :

a) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{24}}_0\tan\left(\dfrac{\pi}{3}-4x\right)dx\)   (đặt \(u=\cos\left(\dfrac{\pi}{3}-4x\right)\)

b) \(\int\limits^{\dfrac{3}{5}}_{\dfrac{\sqrt{3}}{5}}\dfrac{dx}{9+25x^2}\)              (đặt \(x=\dfrac{3}{5}\tan t\))

c) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\sin^3x\cos^4xdx\)       (đặt \(u=\cos x\))

d) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{4}}_{-\dfrac{\pi}{4}}\dfrac{\sqrt{1+\tan x}}{\cos^2x}dx\)     (đặt \(u=\sqrt{1+\tan x}\))

Áp dụng phương pháp tính tích phân, hãy tính các tích phân sau :

a) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0x\cos2xdx\)

b) \(\int\limits^{\ln2}_0xe^{-2x}dx\)

c) \(\int\limits^1_0\ln\left(2x+1\right)dx\)

d) \(\int\limits^3_2\left|\ln\left(x-1\right)-\ln\left(x+1\right)\right|dx\)

e) \(\int\limits^2_{\dfrac{1}{2}}\left(1+x-\dfrac{1}{x}\right)e^{x+\dfrac{1}{x}}dx\)

g) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0x\cos x\sin^2xdx\)

h) \(\int\limits^1_0\dfrac{xe^x}{\left(1+x\right)^2}dx\)

i) \(\int\limits^e_1\dfrac{1+x\ln x}{x}e^xdx\)